高一数学教案用二分法求方程的近似解

高一数学教案用二分法求方程的近似解

　　作为一名专为他人授业解惑的人民教师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。教案应该怎么写才好呢？以下是小编帮大家整理的高一数学教案用二分法求方程的近似解，希望对大家有所帮助。

高一数学教案用二分法求方程的近似解1

　　一、教学目标

　　1．知识与技能

　　（1）解二分法求解方程的近似解的思想方法，会用二分法求解具体方程的近似解；

　　（2）体会程序化解决问题的思想，为算法的学习作准备。

　　2．过程与方法

　　（1）让学生在求解方程近似解的实例中感知二分发思想；

　　（2）让学生归纳整理本节所学的知识。

　　3．情感、态度与价值观

　　①体会二分法的程序化解决问题的思想,认识二分法的价值所在，使学生更加热爱数学；

　　②培养学生认真、耐心、严谨的数学品质。

　　二、 教学重点、难点

　　重点：用二分法求解函数f(x)的零点近似值的步骤。

　　难点：为何由︱a － b ︳＜ 便可判断零点的近似值为a(或b)?

　　三、 学法与教学用具

　　1．想－想。

　　2．教学用具：计算器。

　　四、教学设想

　　（一）、创设情景，揭示课题

　　提出问题：

　　（1）一元二次方程可以用公式求根，但是没有公式可以用来求解放程 ㏑x＋2x－6=0的根；联系函数的零点与相应方程根的关系，能否利用函数的有关知识来求她的根呢？

　　（2）通过前面一节课的学习，函数f(x)=㏑x＋2x－6在区间内有零点；进一步的问题是，如何找到这个零点呢？

　　（二）、研讨新知

　　一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。

　　取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084,因为f(2.5)xf(3)＜0,所以零点在区间（2.5，3）内；

　　再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)≈0.512,因为f(2.75)xf(2.5)＜0,所以零点在（2.5，2.75）内；

　　由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于∣2.5390625－2.53125∣=0.0078125＜0.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=㏑x＋2x－6零点的近似值，也就是方程㏑x＋2x－6=0近似值。

　　这种求零点近似值的方法叫做二分法。

　　1．师：引导学生仔细体会上边的这段文字，结合课本上的相关部分，感悟其中的思想方法．

　　生：认真理解二分法的函数思想，并根据课本上二分法的一般步骤，探索其求法。

　　2．为什么由︱a － b ︳＜便可判断零点的近似值为a（或b）？

　　先由学生思考几分钟，然后作如下说明：

　　设函数零点为x0，则a＜x0＜b，则：

　　0＜x0－a＜b－a，a－b＜x0－b＜0；

　　由于︱a － b ︳＜，所以

　　︱x0 － a ︳＜b－a＜,︱x0 － b ︳＜∣ a－b∣＜,

　　即a或b 作为零点x0的近似值都达到了给定的精确度。

　（三）、巩固深化，发展思维

　　1．学生在老师引导启发下完成下面的例题

　　例2．借助计算器用二分法求方程2x＋3x＝7的近似解（精确到0.01）

　　问题：原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的？

　　师：引导学生在方程右边的常数移到左边，把左边的式子令为f(x),则原方程的解就是f（x）的零点。

　　生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用二分法求解．

　　（四）、归纳整理，整体认识

　　在师生的互动中，让学生了解或体会下列问题：

　　（1）本节我们学过哪些知识内容？

　　（2）你认为学习“二分法”有什么意义？

　　（3）在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方？

　　（五）、布置作业

　　P92习题3.1A组第四题，第五题。

高一数学教案用二分法求方程的近似解2

　　学习目标

　　1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的'近似解;

　　2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.

　　旧知提示 (预习教材P89~ P91，找出疑惑之处)

　　复习1：什么叫零点?零点的等价性?零点存在性定理?

　　对于函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点.

　　方程 有实数根 函数 的图象与x轴 函数 .

　　如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点.

　　复习2：一元二次方程求根公式? 三次方程? 四次方程?

　　合作探究

　　探究：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.

　　解法：第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球;

　　第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球;

　　第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.

　　思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求 的零点所在区间?如何找出这个零点?

　　新知：二分法的思想及步骤

　　对于在区间 上连续不断且 0的函数 ，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).

　　反思： 给定精度，用二分法求函数 的零点近似值的步骤如何呢?

　　①确定区间 ，验证 ，给定精度

　　②求区间 的中点 ;[]

　　③计算 ： 若 ，则 就是函数的零点; 若 ，则令 (此时零点 ); 若 ，则令 (此时零点 );

　　④判断是否达到精度即若 ，则得到零点零点值a(或b);否则重复步骤②~④.

　　典型例题

　　例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程 的近似解.

　　练1. 求方程 的解的个数及其大致所在区间.

　　练2.求函数 的一个正数零点(精确到 )

　　零点所在区间 中点函数值符号 区间长度

　　练3. 用二分法求 的近似值.

　　课堂小结

　　① 二分法的概念;②二分法步骤;③二分法思想.

　　知识拓展

　　高次多项式方程公式解的探索史料

　　在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解.同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算.因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.

　　学习评价

　　1. 若函数 在区间 上为减函数，则 在 上( ).

　　A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点

　　C. 没有零点 D. 至多有一个零点

　　2. 下列函数图象与 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是().

　　3. 函数 的零点所在区间为( ).

　　A. B. C. D.

　　4. 用二分法求方程 在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得 ， ， ，那么下一个有根区间为 .

　　课后作业

　　1.若函数f(x)是奇函数，且有三个零点x1、x2、x3，则x1+x2+x3的值为()

　　A.-1 B.0 C.3 D.不确定

　　2.已知f(x)=-x-x3，x[a，b]，且f(a)f(b)0，则f(x)=0在[a，b]内()

　　A.至少有一实数根 B.至多有一实数根

　　C.没有实数根 D.有惟一实数根

　　3.设函数f(x)=13x-lnx(x0)则y=f(x)()

　　A.在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B.在区间1e，1， (1，e)内均无零点

　　C.在区间1e，1内有零点;在区间(1，e)内无零点[]

　　D.在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点

　　4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是()

　　A.(-2，-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

　　5.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0，+)内，则m的取值范围是()

　　A.m1 B.01 D.0

　　6.函数f(x)=(x-1)ln(x-2)x-3的零点有()

　　A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

　　7.函数y=3x-1x2的一个零点是()

　　A.-1 B.1 C.(-1,0) D.(1,0)

　　8.函数f(x)=ax2+bx+c，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )

　　A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且仅有一个 D.一个也没有

　　9.根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()

　　x -1 0 1 2 3

　　ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09

　　A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)

　　10.求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的简图.

　　【总结】

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